数学オリンピック予選問題(2000年1月10日)


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2000年 第10回 日本数学オリンピック予選

2000年1月10日 実施

予選問題

受験生への注意事項

試験開始の指示のあるまでこの用紙を開いたり,透かして見たりしてはいけません.

電卓やマイコン,またノートや参考書等を使用してはいけません.

問題は 12問,試験時間は 3時間です.

試験開始後まず,受験番号と氏名と電話番号を解答用紙(別紙)に記入してください.

解答は答のみを解答用紙の該当欄に記入してください.

解答用紙だけを回収します.


問題

 

†2000年 1月 10日 実施 試験時間 3時間 12問 (答のみを記入する)

 

1.下図のように 直角三角形内に3つの正方形と3つの円 O,O,Oがあり、各円はそれぞれを含む小直角三角形の内接円であり、O,Oの直径の長さはそれぞれ9,4 である. 円Oの直径の長さを求めよ.

なお, この図は1853年に佐々木 萬蔵が陸奥の国(現在の岩手県)三陸綾里八幡神社に奉納した算額から取ったものである.

 

2.3a+5b (ただし, a, b は 0 以上の整数) の形で表わせない自然数の最大値を求めよ.

 

3.平面上に点Oを通る直線 と, 一辺の長さ1 の正三角形OAB がある. ただし, 辺ABとは交点を持たないとする. 頂点A, B からに下ろした垂線ととの交点をそれぞれ A',B' とするとき, AA'+BB' のとりうる最大値を求めよ. ここで2点X,Y に対してXYはその間の距離を示す.

 

4.一歩で 1段, 2段, または 3段を登れる人が, 7段の石段を登る. 何通りの登り方があるか. ただし途中で下りたり, 足踏みしたりはしないものとする.

 

5.図のような1辺の長さ1の立方体ABCD-EFGH があり, 辺CD の中点をK ,辺 DH の中点をL , 辺EF の中点をM ,辺 FB の中点をN とする. 八面体A-KLMN-G の体積を求めよ.

 

6.n を自然数とする. 有理数係数の2n 次方程式

  x^{2n}+a1x^{2n-1}+a2x^{2n-2}+… +a2n-1x+a2n=0

の解は, すべて

 x^2+5x+7=0

の解にもなっている. このとき係数a1の値を求めよ.

(注)^の記号は乗算を示す。以下同じ。

 

7. 2以上の自然数n に対して,

  0≦ x < x+y< y+z ≦ n

を満たす整数の組 (x,y,z) の総数を求めよ.

 

8.4020を 41 で割った余りを求めよ.

 

9.k=1100 ( [k^2/100]+[10√k] )

を求めよ. ただし, [x] はx を超えない最大の整数のことである.

 

10.1か2か3の数字が書かれたカードがそれぞれ十分沢山ある. その中からそれぞれの数字のカードを奇数枚ずつ合計1999枚を選び, 一列に並べる. この方法は何通りあるか.

 

11.四角形 ABCD があり, AD // BC,∠ ABC=∠ BDC=0.5 ∠ ACB であり, 直線 BD は ∠ ABC の2等分線になっているとする. このとき ∠ ABC を求めよ.

 

12.数列a,a,a,…,a30 は以下の条件 (i), (ii) を満たす. このような数列は何通りあるか.

条件

(i)a,a,a,…,a30は自然数1,2,3,…,30 の並べ換えである.

(ii) mが 2,3,5 のそれぞれの場合, 1 ≦ n <n+m ≦ 30 となる任意の n に対して,

an+m −an は m で割り切れる.

(注)例えば, a=1,a=2,a=3,…,a30=30は条件 (i),(ii) を満たす.

 

 


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