第41回ＩＭＯ問題

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第４１回国際数学オリンピック 韓国大会の問題

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日本語版

第一日

韓国:大田(Taejon), 2000年7月19日

解答時間 : 4時間30分

各問 7点

問題　１．

２つの円Γ_１、Γ_２があり，２点Ｍ、Ｎで交わっている．直線ＬはΓ_１とΓ_２の共通接線であり，点Ｍは点Ｎより直線Ｌに近い側にある．直線ＬはΓ_１と点Ａで接し，Γ_２と点Ｂで接する．点Ｍを通りＬに平行な直線と，Γ_１との交点をＣ，Γ_２との交点をＤとする．ただし，Ｃ、ＤはＭと異なる点である．

直線ＣＡとＤＢの交点をＥ，直線ＡＮとＣＤの交点をＰ，直線ＢＮとＣＤの交点をＱとする．ＥＰ＝ＥＱを示せ．

問題　２．

a, b, c をabc=1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ．

( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１

問題 ３．

ｎを２以上の正整数とする．初期配置において，左右に延びた直線上にｎ匹の蚤（ノミ）がいる．ただし，ｎ匹全部が同じ点にいるわけではない．

正の実数λに対して， 操作 を次のように定義する：

次の条件を満たすλの値を全て決定せよ：

「直線上の任意の点Ｍとｎ匹の蚤の任意の初期配置に対して，有限回の操作により全ての蚤がＭの右側に来るように出来る．」

第二日大田(Taejon), 2000年7月20日

解答時間 : 4時間30分各問 7点

問題　４．

手品師が１から100までの数字が書かれた100枚のカードを持っている．手品師はその100枚のカード全てを３つの箱（赤い箱，白い箱，青い箱）に入れて，それぞれの箱に少なくとも１枚以上のカードが入っているようにする．

ある観客が，異なる２つの箱からカードを１枚ずつ取り出して，カードに書かれている数字の合計を手品師に教える．教えられた値をもとに，手品師はカードが引かれなかった箱の色を当てる．

このようなトリックが成立するようなカードの入れ方は何通りあるか．

（少なくとも１枚のカードが別の箱に入っているとき，異なる入れ方だと数える．）

問題　５．

次の条件を満たす正整数ｎは存在するか．

ｎを割り切る相異なる素数はちょうど2000 個ある．

２ⁿ + 1 はｎで割り切れる．

問題　６．

鋭角三角形 ABC の各頂点 A, B, C から対辺に下ろした垂線と対辺との交点をそれぞれH₁, H₂, H₃とする．三角形ABC の内接円は辺 BC, CA, AB とそれぞれ点 T₁, T₂, T₃ で接する．直線T₂T₃に対して直線H₂H₃と対称な直線をＬ₁, 直線T_３T_１に対して直線H_３H_１と対称な直線をＬ_２, 直線T_１T_２に対して直線H_１H_２と対称な直線をＬ_３ とする．

Ｌ_１, Ｌ_２, Ｌ_３によって作られる三角形の全ての頂点は，三角形 ABCの内接円の周上にあることを示せ．

（注）原文では、問１、問６の「直線Ｌ」は行書・斜体の「ｌ」である。

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