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第10回 日本数学オリンピック
本選問題
受験生への注意事項
試験開始の指示のあるまでこの用紙を開いたり,透かして見たりしてはいけません.
問題は 5問,試験時間は 4時間です.
解答用紙は5枚(各問題につき1枚)あります.裏面を用いるときは「裏面につづく」と断ってください.
5枚の解答用紙の記入欄の各々に,受験番号と氏名と連絡先電話番号を記入してください.
電卓やマイコン,またノートや参考書等を使用してはいけません.
試験終了後,5枚の解答用紙を番号順にそろえて,一括して半分に折り提出して下さい.
2000年2月11日
(財)数学オリンピック財団
2000年日本数学オリンピック本選
(財) 数学オリンピック財団
問題
2000年 2月 11日 試験時間 4時間 5問 (各題8点)
問題 １．座標平面上の原点をO , 点 (0, 1/2) を Ａ とする. このとき次の条件を満たすような平面上の有限な有理点の集合 Ｐ１，Ｐ２, … … Ｐｎは存在しないことを証明せよ.
条件 OＰ１＝Ｐ１Ｐ２＝Ｐ２Ｐ３＝…＝Ｐｎ−１Ｐｎ＝ＰｎＡ＝１
ただし, 有理点とはｘ座標もｙ座標も有理数である点であり, また2点 ｘ，ｙ に対しその間の距離をｘｙ で示す.
問題 ２．左から順にａ１，ａ２，…，ａ３ｎと書かれた 3 n 枚のカードが並んでいるとき, 以下のような1), 2) の操作をすることを, シャッフルと呼ぶことにする.
1)次の (B) のように, (A) を 3つの行に分ける.
(A) ａ１，ａ２，ａ３， ａ４，ａ５，ａ６， ａ７，ａ８，ａ９，…，ａ3ｎ−２，ａ3ｎ−１，ａ3ｎ
(B)
ａ１，ａ４，ａ７，…，ａ3ｎ−２
ａ２，ａ５，ａ８，…，ａ3ｎ−１
ａ３，ａ６，ａ９，…，ａ3ｎ
2) 次の (C) のように, 上の (B) の3つの行をつなげる.
(C)
ａ３，ａ６，ａ９，…，ａ3ｎ，ａ２，ａ５，ａ８，…，ａ3ｎ−１，ａ１，ａ４，ａ７，…，ａ3ｎ−２
例えば, 左から1,2,3,4,5,6と並んだ６枚のカードを1回, 2回, 3回, とシャッフルしていくと
1,2,3,4,5,6
3,6,2,5,1,4
2,4,6,1,3,5
・ ・ ・
となっていく. このとき以下の問に答えよ.
問 左から 1,2,3,4,…,190,191,192 と並んだ 192 枚のカードを何回かシャッフルすると,これが 192,191,190,…,4,3,2,1 の順番になることはあるか.
問題 ３．平面上に異なる 5点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐ，Ｑ があり,
どの3点も同一直線上にない. このとき,次の不等式を示せ. ここで XY は2点 X, Y 間の距離を示す.
AB+BC+CA+PQ < AP+AQ+BP+BQ+CP+CQ
問題 ４．3以上の自然数 n に対して, 以下の条件 (i), (ii) を満たす集合 Ａｎ が存在することを示せ.
(i) Ａｎ は相異なる n 個の自然数よりなる.
(ii) Ａｎ のどの要素ａに対しても, ａ 以外の (n-1) 個の数の積をａ で割ると１ 余る.
問題 ５．平面上に相異なる有限個の直線がある. 2本以上の直線が通る点を「交点」と呼び, ちょうど2本の直線が通る点を「良交点」と呼ぶ. 「交点」が2個以上あるときの「良交点」の個数の最小値を求めよ.
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