数学オリンピック本選問題(2001年2月11日)


問題

試験時間 4時間 5問


1.m×nのマス目がある。次の条件を満たすように各マスを黒または白に塗る。

条件:すべての黒マスについて、そのマスに隣接する黒マスの個数は奇数である。

このとき、黒マスの総数は、偶数であることを示せ。ただし、2つのマスが隣接するとは、それらが異なり、かつ一辺を共有することである。

 

2.10進法表記で、自然数nがam−1…aと表されていたとする。つまり、0以上9以下の整数am、m−1、…、a(ただしa≠0)を用いて、

n=10m−1+10m−2m−1+・・・+a

と表される。このとき、

n=(a+1)×(am−1+1)×・・・×(a+1)

を満たすnをすべて求めよ。

 

3.0以上の実数a、b、cがあり、

≦b+c、b≦c+a、c≦a+b

を満たしているとする。このとき

(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)≧4(a+b+c

が成り立つことを示せ。また、等号が成立する条件を求めよ。

 

4.pを任意の素数、mを任意の自然数とする。このとき自然数nをうまく選べば、pを10進法で表したときその数字列に0が連続してm個以上並ぶ部分があるようにできることを示せ。

 

5.平面上に三角形ABCと三角形PQRがあり、以下の2つの条件(1)、(2)を満たしている。

(1)点Aは線分QRの中点であり、点Pは線分BCの中点である。
(2)直線QRは∠BACの二等分線であり、直線BCは∠QPRの二等分線である。

このとき、AB+AC=PQ+PRとなることを示せ。ただし、ここでXYとは線分XYの長さを表すものとする。

 


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